Aufgabe 3

Der Mathematiklehrer ist schon immer ein ungewöhnlicher Mensch gewesen. Letztes Mal hat er sich aber selbst übertroffen. Ein Tag vor der Klassenarbeit teilte er der Klasse mit, dass sie diesmal bei der Auswahl der Arbeit ein gewisses Mitspracherecht hätte. Er hielt drei gleich aussehende versiegelte Umschläge in die Höhe und sagte: „Ich habe eine schwere und eine leichte Klassenarbeit vorbereitet. In zweien der drei Umschläge befindet sich die schwere Arbeit auf liniertem Papier. In einem Umschlag steckt die leichte Arbeit auf kariertem Papier. Der Klassensprecher darf zunächst einen Umschlag auswählen.” Der Klassensprecher zuckte mit den Achseln und zeigte auf einen Umschlag. Daraufhin öffnete der Lehrer einen der anderen zwei Umschläge, in dem die Rückseite eines linierten Blattes zu sehen war. „Ich habe euch gerade eine zusätzliche Hilfe gegeben. Ihr könnt euch jetzt beraten, ob ihr bei der Wahl eures Klassensprechers bleibt oder einen anderen Umschlag wählt. Diese Wahl bestimmt dann endgültig, welche Klassenarbeit ihr morgen schreiben werdet.”

Die Frage: Durch welche Entscheidung stehen die Chancen der Klasse besser, die leichte Arbeit zu schreiben?

1. Lösungsweg

Der Lehrer hat das Geheimnis des einen Umschlages gelüftet. Somit sind nur noch zwei Umschläge übriggeblieben. In einem Umschlag befindet sich die schwierige, in dem anderen die leichte Arbeit. Die Klasse muss sich für einen dieser Umschläge entscheiden. Die Klasse weiß aber nicht, welche Arbeit sich in welchem Umschlag befindet. Die Chancen, mit der die leichte oder die schwere Arbeit gewählt wird, sind also gleich. Dies ist völlig unabhängig davon, ob die Klasse die vorherige Wahl des Klassensprechers revidiert oder nicht. Denn in beiden Fällen gibt es zwei gleichwertige Möglichkeiten, von denen genau eine günstig ist. Daraus folgt:

Antwort: Die Chance ist von der Entscheidung der Klasse unabhängig.

2. Lösungsweg

Wir können ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass der Klassensprecher im ersten Schritt auf den ersten Umschlag zeigte und untersuchen nun alle denkbaren Fälle.

Abbildung 1

Abbildung 2

Abbildung 3

1. Fall:

Die leichtere Arbeit befindet sich im 1. Umschlag (siehe Abbildung 1). Ein Wechsel wäre in diesem Fall ungünstig.

2. Fall:

Die leichtere Arbeit befindet sich im 2. Umschlag (siehe Abbildung 2). Der Lehrer konnte in diesem Fall nur den 3. Umschlag geöffnet haben, denn es war ein anderer Umschlag mit liniertem Blatt. Ein Wechsel von 1 zu 2 wäre günstig.

3. Fall:

Die leichtere Arbeit befindet sich im 3. Umschlag (siehe Abbildung 3). Der Lehrer konnte in diesem Fall nur den 2. Umschlag geöffnet haben, denn es war ein anderer Umschlag mit liniertem Blatt. Ein Wechsel von 1 zu 3 wäre günstig.

Von den drei Fällen sind zwei günstig. Daraus folgt:

Antwort: Die Änderung der Wahl bietet die höhere Chance.

Die zwei Lösungswege haben zu zwei unterschiedlichen Ergebnissen geführt.

Widerspruch! – Was ist richtig? Was ist falsch? Warum?

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