Aufgabe 3

Einer von 1000 Bundesbürgern leidet an einer bestimmten Krankheit. Dies lässt sich in einem Test feststellen, der bei jedem Kranken garantiert positiv ausfällt. Der Test ist jedoch nicht perfekt, da das Ergebnis manchmal auch bei Gesunden positiv ist. Genauer: Unter 1000 gesunden Testpersonen sind 10 mit einem (irrtümlich) positiven Resultat.

Welcher Anteil der Testpersonen mit positivem Ergebnis ist wirklich krank?

1. Lösungsweg

Von 1000 Personen erhalten 10 einen positiven Test, obwohl sie gesund sind. Andererseits ist laut Statistik einer von 1000 Personen tatsächlich krank. Somit bekommen 11 Testpersonen (10 + 1) ein positives Ergebnis. Tatsächlich krank ist aber nur eine Person. Dies bedeutet:

Antwort: Der Anteil der wirklich Kranken beträgt 1/11.

2. Lösungsweg

Wir wenden die Ergebnisse der statistischen Erhebungen auf 100000 Personen an. Da jede 1000-ste Person krank ist, gibt es 100000 : 1000 = 100 Kranke. Gesund sind also 100000 − 100 = 99900 Personen. Unter 1000 gesunden Testpersonen sind 10 mit einem positiven Resultat bedeutet: 10/1000 = 1/100 = 1% der gesunden Personen wird irrtümlich für krank gehalten. 1% von 99900 ist 999 (denn 99900 : 100 = 999). Insgesamt gibt es somit 100 + 999 = 1099 Personen mit positivem Ergebnis. Tatsächlich krank sind aber nur 100. Dies bedeutet:

Antwort: Der Anteil der wirklich Kranken beträgt 100/1099.

Die zwei Lösungswege haben zu zwei unterschiedlichen Ergebnissen geführt.

Widerspruch! – Was ist richtig? Was ist falsch? Warum?

Einführung und weitere Aufgaben