Schön anzuschauen sind stets die platonischen Körper. Auch halbreguläre Polyeder haben eine innere Ästhetik. Diese hat mich schon früh fasziniert. Speziell die Dualität (wo das eine eine Ecke hat, ist beim anderen stets eine Seitenfläche) platonischer Körper führte mich auf einen Gedanken:

Ein Tetraeder ist zu sich selbst dual.

Man kann zwei regelmäßige Tetraeder so legen, dass ihre Kanten sich jeweils senkrecht schneiden. Sie halbieren sich dann auch (Beweis?). Die Schnittpunkte bilden ein Oktaeder, die Eckpunkte der Tetraeder bilden einen Würfel (warum?).

Der Würfel ist zum Oktaeder dual. Man kann einen Würfel und ein regelmäßiges Oktaeder so legen, dass sich ihre Kanten wieder senkrecht schneiden. Sie halbieren sich dann wieder. Die Schnittpunkte bilden ein “Mittelkristall”, die Eckpunkte von Oktaeder und Würfel zusammen bilden einen Rhombendodekaeder.

Diese beiden Polyeder sind nun wieder zueinander dual (warum?) und man kann sie so legen, dass ihre Kanten sich senkrecht schneiden. Wie sehen die Seitenflächen des Polyeders aus, der dann von allen Eckpunkten gebildet wird? Wie kann man ihn basteln (konstruiere ein Netz)?

Kann man diese Konstruktion in beliebiger Weise fortsetzen? Gibt es also einen “Grenzklumpen” dabei, und wie sähe er aus? Eine Kugel ist es jedenfalls nicht. […]

Viel Spaß und ein gutes Vorstellungsvermögen